Rekenen met procenten

Achtergrondinformatie zie: "Zeven Invalshoeken voor Vakdidactiek"

Samenvatting
In blog nummer 6 kwam naar voren dat er twee methoden zijn om te analyseren welke problemen leerlingen hebben met het oplossen van vraagstukken. De eerste methode is de analyse van schriftelijk werk dat leerlingen, bijvoorbeeld tijdens examens, hebben ingeleverd. De tweede methode is om leeerrlingen hardop-denkend vraagstukken te laten oplossen.

In dit voorbeeld staat de analyse van schriftelijk werk centraal. Lenie Kneppers heeft daartoe een voorzet gegeven door negen soorten van antwoorden te categoriseren bij een examenvraagstuk. Die aanzet opent de mogelijkheid om dieper in te gaan op de confrontatie van het conceptuele model (*) dat de in lesstof staat en de voorstelling die zij zich daar kennelijk van gemaakt hebben door hun eigen mentale model (*) te ontwikkelen.

Voorbeeld 6.a Rekenen met procenten

In blog nummer 6 is een voorbeeld van onderzoek naar misconcepties besproken die leerlingen hebben bij het oplossen van vraagstukken. Dit voorbeeld is te vinden in het artikel van Lenie Kneppers: “Examenvragen havo economie, 1e tijdvak 2021 geanalyseerd”. Dit onderzoek vindt plaats aan de hand van fouten die leerlingen gemaakt hebben tijdens het examen.

Uitwerking van een van de examenvragen
Het voorbeeld dat Kneppers bespreekt, gaat over het rekenen met percentages. In essentie was de vraag in het eindexamen: ‘Bereken hoeveel procent Europese auto’s in India goedkoper worden als India de invoerrechten van 120% afschaft.’ Voor het oplossen van dit probleem is een conceptuele model (*) voor handen, namelijk een standaardformule. Het antwoord is te berekenen met de formule (nieuw - oud) / oud x 100%.

Die opgave is niet eenvoudig voor leerlingen omdat ze een percentage moeten berekenen aan de hand van getallen die al als percentage zijn uitgedrukt. De oude verkoopprijs van auto’s in India was 100% invoerprijs + 120% invoerrechten = 220% van de prijs die de exporteur wilde hebben. Verlaging van de invoerrechten tot 0% leidt dus tot een verkoopprijs van 220% - 120% = 100% van de invoerprijs. De berekening van de prijsdaling is dus ((100% - 220%) / 220%) x 100% = -54,54%.

Kneppers inventariseert negen typen van antwoorden waar diverse redeneringen uit te halen zijn. Ten minste als de leerlingen een berekening hebben opgeschreven. Als een leerling de vraag wil overslaan en op goed geluk iets invult, dan is niet duidelijk of er ook nog een gedachtengang achter het gegeven antwoord zit. Dus alleen bij een korte of lange berekening geven de antwoorden een beeld van het mentale model dat leerlingen mogelijk hanteren bij het oplossen.

De negen typen van antwoorden
1. 54,54%: de leerlingen gebruiken de beschikbare formule correct.

2. “Stel de inkoopprijs is € 50 en de invoerrechten zijn 120%, dan is de verkoopprijs € 110,-.” Dus de strategie van deze leerling is: omzetting naar andere eenheden, maar dat gebeurt hier onvolledig.

3. ((220-120) / 100) x 100%. Nieuw en oud zijn onjuist ingevuld. Het conceptuele model is niet goed overgekomen.

4. (0% -120%) / 120%: niet de prijzen, maar de invoerrechten zijn als berekeningsbasis voor de formule genomen. Ook hier is het conceptuele model niet goed overgekomen.

5. 120%: verschil tussen oude en nieuwe prijs: 220% - 100% = 120%.

6. 120% verlaging is dus 120% goedkoper; eerst kwam er 120% bij en nu gaat die er weer af.

7. 20%: de leerlingen gebruiken de data anders dan aangegeven in de tekst: 120% - 100% = 20%.

8. 100 / 120 x 100% = 83,3%: (geen woorden als toelichting)

9. 20% zonder berekening, dus waarschijnlijk gokken op een goed antwoord: het verschil tussen twee percentages uit de opgave.

De negen typen van mentale modellen (*)
1. Het mentale model komt overeen met het conceptuele model dat de leerlingen hebben moeten leren. Maar dat betekent niet dat de gegeven antwoorden altijd correct zijn. Rekenfouten of slordigheden kunnen leiden tot een foute uitkomst.

2. Door het percentage te vervangen in geldbedragen is het mentale model in feite nog steeds gelijk aan het conceptuele model, het is alleen rijker. De strategie van deze leerlingen om te komen tot een Concretisering van een voorbeeld is prima. Maar ook hier kunnen rekenfouten of slordigheden bij het invullen leiden tot fouten.

3. Door oud en nieuw met elkaar te verwisselen in de teller en of de noemer ontstaat een Verkeerde toepassing van de formule. Het conceptuele model is niet goed overgekomen.

4. De nieuwe en oude invoerrechten zijn als berekeningsbasis voor de formule genomen. De leerling beseft wel dat er een nieuwe en een oude situatie is, maar realiseert zich niet over welke eenheden het gaat in de formule. Het mentale model berust dus op Onbegrip over de betekenis van de grootheden in de formule.

5. Het kan ook zijn dat slechts een deel van de formule wordt gebruikt. Bij een uitkomst van 120% is het verschil tussen de oude en de nieuwe prijs: 220% - 100% genomen. In feite dus het bedrag van de afgeschafte invoerrechten. Hier is sprake van Onvolledige toepassing van de formule.

6. Een voor de hand liggende misconceptie is die van de omkering: Onjuiste samenhang door omkering van de redenering.
Maar het kan ook een verkeerde toepassing zijn van het conceptuele model: {(100% - 220%) / 100%} x 100% = 120%. Dat dit in het hoofd van de leerling zit, blijkt echter pas als deze berekening erbij staat.

7. Bij een berekening van 120% - 100% is de vraag of er nog wel iets van het conceptuele model is blijven hangen bij de leerlingen. Ze gebruiken de data anders dan aangegeven in de tekst. Dit kan duiden op Niet goed lezen of erop Gokken dat je met twee percentages niet veel anders kan doen dan het verschil tussen die twee te berekenen.

8. Soms is er geen duidelijkheid over de strategie en het mentale model die schuil gaan achter een berekening. Een notatie als 100 / 120 x 100% = 83,3% geeft dus aan: Geen duidelijkheid over de strategie.

9. De restcategorie zijn antwoorden die zonder enige berekening op papier verschijnen. Dus waarschijnlijk gokken op een goed antwoord. Niet gegokt, is altijd mis.

Geef de berekening
Een van de conclusies die Kneppers trekt is: “Het kan helpen als leerlingen leren om bij een toets uit te schrijven hoe ze tot een antwoord komen.”. Misschien zou het zelfs beter zijn om de formulering van vraagstukken centraal te stellen. Dat kan door voor te stellen om niet meer naar de uitkomst van een vraagstuk te vragen, maar door gewoon te zeggen; ‘Geef de berekening die nodig is om na te gaan hoeveel procent de Europese auto’s in India goedkoper worden als India de invoerrechten van 120% afschaft.’

Overigens is de gevonden reeks van mogelijke mentale modellen en variaties daarop nog geen uitputtende weergave van de ideeën die leerlingen kunnen hebben over het gebruik van percentages bij examenopgaven. In hardop-denk-sessies is het mogelijk om leerlingen al pratend een uitwerking van dit vraagstuk te laten maken. Zonder tussentijdse beoordeling van de toezichthouder bij deze sessies, kunnen leerlingen hun echte gedachten weergeven.

Zo overkwam het mij dat een leerling tijdens een hardop-denk-sessie zei: “Ik heb altijd geleerd dat een percentage een deel is van het geheel. 100% is dus alles en meer dan alles is niet mogelijk. Ik begrijp dus niet wat ze bedoelen met 120%. Dan kan helemaal niet. Ik vul maar snel iets in en dan ga ik verder met een andere som.”

Alle blogs over de zeven invalshoeken van vakdidactiek
In totaal zijn de volgende blogs verschenen, waarin de zeven invalshoeken voor vakdidactiek successievelijk terugkomen. Bij een aantal blogs zijn een of meer voorbeelden toegevoegd. Daarnaast is er een blog met achtergrond informatie over de zeven invalshoeken waarin onderdelen nader uitgewerkt of toegelicht staan om veelvuldige herhaling te voorkomen.

De zeven invalshoeken voor vakdidactiek (achtergrondinformatie):

1. Becommentariëren en verbeteren van bestaande lesprogramma;
2. Beschrijven van de mentale voorstelling die docenten hebben
   van hun vak;
   - Voorbeeld 2.a De namen van leerlingen leren;
    
3. Expliciteren van het instructieproces tijdens het onderwijs;
   - Voorbeeld 3.a De vele talen van de wiskunde;
   - Voorbeeld 3.b Goed lezen bestaat uit drie onderdelen;
   - Voorbeeld 3.c Het verborgen pad;
   - Voorbeeld 3.d Het gebruik van eenheden;
   - Voorbeeld 3.e Verpleegkundig rekenen bijvoorbeeld;
    
4. Stimuleren van de motivering van leerlingen door de vorm
   van het lesaanbod;
5. Bevorderen van de zelfsturing van leerlingen door eigen
   organisatie van het onderwijs;
6. Analyseren van de problemen die leerlingen hebben met de stof;
   - Voorbeeld 6.a Rekenen met procenten;
    
7. Onderzoeken welke mentale modellen leerlingen ontwikkelen
   en toepassen;
   - Voorbeeld 7.a Onderzoek via hardop-denk-sessies;
   - Voorbeeld 7.b Op zoek naar gokstrategieën.
   - Voorbeeld 7.c Wanneer ken je een hoofdstuk?

(*) Conceptuele modellen en mentale modellen
Norman, Gentner & Stevens hebben in een publicatie uit 1976 het mentale model geplaatst tegenover het conceptuele model. Zij gingen in op de constatering dat sommige mensen hun rekenmachine steeds uit- en weer aanzetten. Aan de hand van zo’n rekenmachine plaatsten zij de begrippen in een vierluik:
1) er is een apparaat dat functies heeft,
2) er is een goede beschrijving van de werking van dat apparaat (een conceptueel model)
3) een gebruiker maakt zich een mentale voorstelling van de wijze waarop het apparaat functioneren kan (een mentaal model);
4) er is een onderzoeker die probeert om zich een voorstelling te maken van het mentale model dat een gebruiker ontwikkeld heeft.

Bronnen
- Kneppers, L., Innovatief en betekensvol economie onderwijs,
  Expertise Centrum voor de Mens- en Maatschappijvakken, 2023.
- Kneppers, L., Examenvragen havo economie 1e tijdvak 2021
  geanalyseerd, Factor D, 2022, nummer 1, blz 19.
- Norman, D.A., Gentner, D.R. & Stevens, A.L. (1976), Comments on
  learning schemata and memory representation. In D. Klahr (ed.),
  Cognition and Instruction, Hillsdale N.J. Lawrence Erlbaum Ass.
- Van Dongen, H. en Van der Meche, E., Mentale Modellen, Factor D, 2022,
  nummer 1, blz 13.
- Vernooij, F., Een mentaal model van vakdidactiek. Factor D, 2022,
  nummer 2, blz.17.
- Vernooij, F., Bedrijfseconomische begrippen en hun eenheden.
  Zie: bedrijfseconomische-begrippen.nl.

Persoonsgegevens
Fons Vernooij was Vakdidacticus bedrijfseconomie en algemene economie bij het ILO in Amsterdam en is nu met pensioen. Hij beheert de website vakdidactiek.nl als onderdeel van zijn website onderwijsportaal.nl. Vanwege zijn achtergrond zijn veel voorbeelden ontleend aan de economische vakken.

Als vakdidacticus voerde hij in 1993 een promotieonderzoek uit. Zie: Vernooij, F., (1993), Het leren oplossen van bedrijfseconomische problemen. Proefschrift, te vinden op vakdidactiek-bedrijfseconomie.nl.

Deze blogs zijn een uitvloeisel van zijn artikel “Een mentaal model van vakdidactiek”, dat is verschenen in het blad Factor D (didactiek), veertigste jaargang, nummer 2 uit 2022. Dit artikel is te downloaden via www.fons-vernooij.nl/documenten/een-mentaal-model-van-vakdidactiek.pdf.