Onderzoek naar mentale modellen van leerlingen

Achtergrondinformatie zie: "Zeven Invalshoeken voor Vakdidactiek"

Samenvatting
Als een leerling in de klas een fout antwoord geeft, probeert een docent dat te corrigeren. Hij of zij geeft een reactie die past binnen het conceptuele model (*) dat aan de orde is in het lesprogramma. Maar soms heeft een leerling een dwingend idee dat daarvan afwijkt. Een leerling kan een mentaal model (*) hebben dat hem of haar verhindert mee te gaan in de uitleg van de docent.

Het mentale model van de leerling kan voortkomen uit eerdere hoofdstukken uit het boek of eerdere lessen die door de docent of een collega zijn gegeven. Zij kunnen ook voortkomen uit situaties waarin de docent zelf geen helder mentaal model heeft van de lesstof. Er is dan verwarring tussen het mentale model van de leerling, het mentale model van de docent en het onderliggende conceptuele model van de lesstof.

7e invalshoek voor de vakdidactiek:
Onderzoeken welke mentale modellen leerlingen ontwikkelen en toepassen

Hoe dwingend zijn reeds bestaande ideeën?
Her en der in de voorafgaande blogs over vakdidactiek zitten al aanzetten tot een oproep om aandacht te geven aan de mentale modellen die leerlingen hanteren bij het aanpakken van vraagstukken. Ik memoreerde een probleem dat leerlingen kunnen hebben met het rekenen met percentages boven het honderd. Een belangrijke valkuil kwam naar voren tijdens hardop-denksessies tijdens mijn promotieonderzoek. In blog 6.1 Rekenen met procenten is daar al even bij stilgestaan.

Sommige leerlingen die hardop-denkend een vraagstuk met percentages boven het honderd maakten, verwrongen de berekening tot percentages onder het honderd. Een leerling lichtte dat tijdens een hardop-denk-sessie toe: “Ik heb altijd geleerd dat een percentage een deel is van het geheel. 100% is alles en meer dan alles is niet mogelijk. Ik begrijp dus niet wat ze bedoelen met 120%. Dan kan helemaal niet. Ik vul maar snel iets in en dan ga ik verder met een andere som.”

Voorraadgrootheden en stroomgrootheden
Een ander mentaal model dat problemen oplevert, staat in de Column van Sophie op blz. 11 van nummer 1 van Factor D onder de titel “Nieuwe interessante onderwerpen en lastige toetsen”. Zij schrijft over de lesbrief Levensloop en zegt o.a. “Ik vind stroomgrootheden en voorraadgrootheden nog steeds wel een beetje moeilijk maar het gaat al wel veel beter dan in het begin.”

Dat lijkt een simpel probleem. Voorraadgrootheden zijn metingen op een moment, bijvoorbeeld de bedragen die op een balans staan zijn gemeten in euro’s. Stroomgrootheden zijn metingen die afhangen van het tijdsverloop, bijvoorbeeld de bedragen op een resultatenrekening. Deze zijn gemeten in euro’s per periode, dus euro’s per kwartaal of euro’s per jaar.

De jaaromzet is te berekenen door de vier kwartaalomzetten bij elkaar op te tellen. Maar de jaarbalans kun je niet berekenen door de vier kwartaalbalansen op te tellen. Dit betekent dat de omzet (TO) en de kosten (TK) niet in euro’s weergegeven behoren te worden, maar in ‘euro’s per periode’ (c.q. € / periode). Om vast te stellen of een grootheid een stroomgrootheid is of een voorraadgrootheid, is het van belang om helder te zijn in de eenheid die erbij staat vermeld. (Dat geldt trouwens ook voor de grootheden die in het IS-MB-GA model zijn opgenomen dat Hijgers en Elvira bespreken)

Economen zijn slordig met eenheden
Economen zijn erg slordig in het noteren van hun eenheden. Het liefst hanteren zij de methode van de wiskunde door de eenheden niet te noteren. Natuurkundigen zijn veel nauwkeuriger. Afstand is een voorraadgrootheid, die staat in kilometers of meters. Snelheid is een stroomgrootheid, die staat in kilometers per uur of meter per seconde, maar nooit in kilometers of meters alleen.

Natuurkundigen hebben een uitgewerkt conceptueel model van de eenheden (BINAS) die zij hanteren bij hun grootheden. Daardoor kunnen docenten en leerlingen een overeenkomstig mentaal model van de natuurkundige grootheden ontwikkelen. Wiskundigen hebben het niet nodig, want die werken doorgaans niet met eenheden. Maar economen werken wel met eenheden (bedrijfseconomische-eenheden.nl).

Het mentale model van docenten economie
Het is echter de vraag of docenten economie hun eigen mentale model van de eenheden voldoende tot ontwikkeling gebracht hebben. Hoe kunnen leerlingen bij het vak Algemene economie of Bedrijfseconomie een helder mentaal model van stroomgrootheden en voorraadgrootheden ontwikkelen als de docenten en de leerboeken uiterst dubbelzinnig omgaan met de eenheden? Met het grootste gemak krijgen verkoopprijs en omzet beide de € als eenheid toegemeten, terwijl de een een voorraadgrootheid is en de ander een stroomgrootheid.

De verkoopprijs krijgt van bijna alle economen (bijna) altijd als eenheid een geldstandaard mee: € (of £ of $). Maar als iemand fruit, groente of koek op een weegschaal legt, staat daar "Prijs: € per kg" en daarna het te betalen bedrag in "€". Voor vloeistof ligt het iets anders. Bij benzine is de prijs altijd in € per liter, dat is wel bekend, maar dan is de formulering vaak: "de prijs per liter is: € ..." Taalkundig is dat correct, maar een natuurkundige zal nooit zeggen: "De snelheid per uur is ongeveer 50".

Zuivere eenheden als basis
Wetenschap moet echter systematischer zijn dan spraakgebruik, ook voor economen. Ten principale is de verkoopprijs altijd een bedrag per eenheid: € per liter, € per kg of € per stuk. Natuurkundig geformuleerd: € / liter, € / kg of € / stuk.

De omzet is de afzet maal de verkoopprijs. Om de omzet te berekenen moet dus de afzet bekend zijn. Die is gegeven of geschat in eenheden per periode: aantal liters per maand, aantal kg per dag of aantal stuks per jaar: liter / periode. kg / periode of stuks / periode.

De eenheid voor de omzet is dus:
hetzij: liter / periode x euro / liter = euro / periode, zoals 3/8 x 7/3 = 7/8;
hetzij: kg / periode x euro / kg = euro / periode;
hetzij: stuks / periode x euro / stuk = euro / periode.

Daardoor is de omzet altijd uitgedrukt als geldeenheid per periode, waardoor het een stroomgrootheid is, want de omzet hangt altijd af van het tijdsverloop.

Een leerling drukte het ooit zo uit: “Ach wat maakt het uit of er verkoopprijs of omzet staat, als je maar begrijpt wat ze bedoelen.” De gedachtengang van die leerling lijkt me toch niet de bedoeling van het onderwijs. Het is een mooie opdracht aan de vakdidactiek om meer zicht te krijgen op de manier waarop boeken de lesstof presenteren en leerlingen die lesstof verwerken.

Meer onderzoek naar de mentale modellen van leerlingen
Uit deze reeks van blogs is gebleken dat de redactie van Factor D een goede neus heeft voor de samenstelling van het jubileumnummer met artikelen die de breedte van de vakdidactiek omvatten. Want het is geweldig om te constateren hoe breed geschakeerd het eerste nummer van het jubileumjaar van Factor D was. En het leidde tot een artikel over de zeven invalshoeken voor vakdidactiek. Dit artikel is verder opgesplitst en uitgewerkt in een reeks blogs over de mentale voorstelling van de vakdidactiek die ik daaruit destilleerde.

Maar wellicht dat de accenten van de vakdidactiek meer verschoven kunnen worden naar de zevende kern van de vakdidactiek: “Hoe onderken je welke mentale voorstelling leerlingen zich maken van een onderwerp? Welke misconcepties spelen mee op de achtergrond? En hoe zorg je dat die mentale voorstelling overeen gaat stemmen met het conceptuele model dat het lesprogramma aanbiedt?” Oh ja, en "Hoe zorg je dat het programma zodanig wordt opgesteld dat er geen misconcepties ontstaan?"

In een aantal voorbeelden worden mogelijke opzetten voor nader onderzoek verder uitgewerkt.

Alle blogs over de zeven invalshoeken van vakdidactiek
In totaal zijn de volgende 7 blogs verschenen, waarin de zeven invalshoeken voor vakdidactiek successievelijk teruggekomen zijn. Daarnaast is er een blog met achtergrond informatie over de zeven invalshoeken waarin onderdelen nader uitgewerkt of toegelicht staan om veelvuldige herhaling te voorkomen.

De zeven invalshoeken voor vakdidactiek (achtergrondinformatie):

1. Becommentariëren en verbeteren van bestaande lesprogramma;
2. Beschrijven van de mentale voorstelling die docenten hebben
   van hun vak;
   - Voorbeeld 2.a De namen van leerlingen leren;
    
3. Expliciteren van het instructieproces tijdens het onderwijs;
   - Voorbeeld 3.a De vele talen van de wiskunde;
   - Voorbeeld 3.b Goed lezen bestaat uit drie onderdelen;
   - Voorbeeld 3.c Het verborgen pad;
   - Voorbeeld 3.d Het gebruik van eenheden;
   - Voorbeeld 3.e Verpleegkundig rekenen bijvoorbeeld;
    
4. Stimuleren van de motivering van leerlingen door de vorm
   van het lesaanbod;
5. Bevorderen van de zelfsturing van leerlingen door eigen
   organisatie van het onderwijs;
6. Analyseren van de problemen die leerlingen hebben met de stof;
   - Voorbeeld 6.a Rekenen met procenten;
    
7. Onderzoeken welke mentale modellen leerlingen ontwikkelen
   en toepassen;
   - Voorbeeld 7.a Onderzoek via hardop-denk-sessies;
   - Voorbeeld 7.b Op zoek naar gokstrategieën.
   - Voorbeeld 7.c Wanneer ken je een hoofdstuk?

(*) Conceptuele modellen en mentale modellen
Norman, Gentner & Stevens hebben in een publicatie uit 1976 het mentale model geplaatst tegenover het conceptuele model. Zij gingen in op de constatering dat sommige mensen hun rekenmachine steeds uit- en weer aanzetten. Aan de hand van zo’n rekenmachine plaatsten zij de begrippen in een vierluik:
1) er is een apparaat dat functies heeft,
2) er is een goede beschrijving van de werking van dat apparaat (een conceptueel model)
3) een gebruiker maakt zich een mentale voorstelling van de wijze waarop het apparaat functioneren kan (een mentaal model);
4) er is een onderzoeker die probeert om zich een voorstelling te maken van het mentale model dat een gebruiker ontwikkeld heeft.

Bronnen
- Norman, D.A., Gentner, D.R. & Stevens, A.L. (1976), Comments on
  learning schemata and memory representation. In D. Klahr (ed.),
  Cognition and Instruction, Hillsdale N.J. Lawrence Erlbaum Ass.
- Van Dongen, H. en Van der Meche, E., Mentale Modellen, Factor D, 2022,
  nummer 1, blz 13.
- Sophie. Column: Nieuwe interessante onderwerpen en lastige toetsen,
  Factor D, 2022, nummer 1, blz 11.
- Vernooij, F., Een mentaal model van vakdidactiek. Factor D, 2022,
  nummer 2, blz.17.
- Vernooij, F., Bedrijfseconomische begrippen en hun eenheden.
  Zie: bedrijfseconomische-begrippen.nl.

Persoonsgegevens
Fons Vernooij was Vakdidacticus bedrijfseconomie en algemene economie bij het ILO in Amsterdam en is nu met pensioen. Hij beheert de website vakdidactiek.nl als onderdeel van zijn website onderwijsportaal.nl. Vanwege zijn achtergrond zijn veel voorbeelden ontleend aan de economische vakken.

Als vakdidacticus voerde hij in 1993 een promotieonderzoek uit. Zie: Vernooij, F., (1993), Het leren oplossen van bedrijfseconomische problemen. Proefschrift, te vinden op vakdidactiek-bedrijfseconomie.nl.

Deze blogs zijn een uitvloeisel van zijn artikel “Een mentaal model van vakdidactiek”, dat is verschenen in het blad Factor D (didactiek), veertigste jaargang, nummer 2 uit 2022. Dit artikel is te downloaden via www.fons-vernooij.nl/documenten/een-mentaal-model-van-vakdidactiek.pdf.