De vele talen van de wiskunde

Achtergrondinformatie zie: "Zeven Invalshoeken voor Vakdidactiek"

Samenvatting
De kunst van de vakdidactiek is om grote stukken kennis op te splitsen in kleine stukken die behapbaar zijn voor de leerlingen. Een voorbeeld hiervan is de behandeling van de wiskunde. Het lijkt voor veel leerlingen een groot dreigend blok aan kennis, maar in feite is het opgebouwd uit onderdelen: teksten in de Nederlandse taal, rekenen met veel al gebruikte bewerkingen, tekenen van grafieken en diagrammen, opstellen van tabellen, aangevuld met andere technieken, zoals vergelijkingen, functies en formules.

Deze opdeling laat zien dat wiskunde is opgebouwd uit vele talen die elk hun eigen regels en logica hebben en die elk stap voor stap worden uitgebreid. Die opdeling toont ook de noodzaak van het vertalen van de ene wiskundige taal in de andere. Een tekst vertalen in rekenkundige bewerkingen is al bekend bij leerlingen, evenals het terugvertalen van de uitkomst naar een beschrijving van het resultaat. Maar het grote aantal onderdelen binnen de wiskunde vereist een veelvoud aan vertaalvaardigheden.

Van tekst naar functies, naar tabellen, naar grafieken, naar berekeningen en dan weer terug naar tekst. Heen en weer tussen al die onderdelen. Vele tientallen vertaalvaardigheden zijn nodig om alle onderdelen en bewerkingen op elkaar te herleiden. En daar zitten dan nog allerlei struikelblokken in van continue en discontinue variabelen en van simplificaties die bedoeld zijn om de opgaven te vereenvoudigen. Ga er maar aan staan.

Voorbeeld 3.a bij blog nummer 3:
"Expliciteren van het instructieproces tijdens het onderwijs"

De vele talen van de wiskunde

Wiskunde als samenstel van vakken met elk hun eigen taal
In blog nummer 3 is aangegeven dat vakdidactiek niet bestaat uit het vertalen van de lesdoelen in behapbare stukjes voor de leerlingen. De echte vraag is hoe de lesdoelen gerealiseerd kunnen worden door bestaande ideeën en mentale modellen (*) bij leerlingen om te vormen tot mentale modellen die passen bij de beoogde theorie uit de lesstof. Het is goed om daarvan enkele voorbeelden uit te werken. In dit blog staat de wiskunde centraal.

Voor veel leerlingen is wiskunde bij aanvang een abstract blok met kennis dat op hen afkomt. Ze hebben er op de basisschool iets over gehoord en vaak zien ze er al tegen op voordat ze de eerste hoofdstukken van een wiskundeboek bekeken hebben. Docenten kunnen wiskunde daarna brengen als een nieuw vak met allerlei geheimen die langzaam ontrafeld worden.

Het is echter ook mogelijk om wiskunde aan te laten sluiten bij de kennis die leerlingen al hebben. Wiskunde is te omschrijven als een samenstel van vakken: Nederlandse taal, rekenen, tekenen, verbanden leggen en geconcentreerd werken. Veel elementen van de wiskunde zijn dan herkenbaar. De auteurs van de lesboeken en de docenten kunnen daarmee aansluiten bij bestaande kennis.

Nederlandse taal
Het meest voor de hand liggende onderdeel van wiskunde is gewoon het gebruik van Nederlands. Woorden als vierkant, cirkel en lijn zijn al bekend en daar sluiten veel wiskundige begrippen op aan. Kubus, balk, cilinder, etc. zijn allemaal extra Nederlandse woorden. Weliswaar jargon, maar ook dat is gewoon een Nederlands woord.

Vraagstukken zijn vaak omschreven in gewone Nederlandse tekst en een van de essenties van wiskunde is dat het probeert om de omschrijvingen zo kort mogelijk te maken. Het gaat dus om de kunst van het weglaten van woorden en het vervangen van woorden door wiskundige instrumenten. Een formule is een poging om in weinig letters en cijfers een heel verhaal samen te pakken. Dat is aan te geven door te zeggen: “Dit is gewoon Nederlandse taal.” Bovendien is het een ‘vertaalvaardigheid’ om verhalen om te zetten in formules. En terug. Let op, het gaat dan om twee vertaalvaardigheden.

Rekenen
Een tweede onderdeel van wiskunde is rekenen. Daar liggen ook veel aangrijpingspunten uit het basisonderwijs. Het gaat er niet om dat er een nieuwe wereld opengaat, maar dat er een paar bewerkingen bij komen. Machtsverheffen en worteltrekken zijn bewerkingen die via oppervlakte en inhoud gepresenteerd worden. Daarmee is een opening gevonden in het gebruik van wiskundige bewerkingen die complexere bewerking mogelijk maakt. Ofwel: “Dit is gewoon rekenen, maar dan iets uitgebreider dan je al deed”.

Ook bij het rekenen gaat het om twee vertaalvaardigheden, die overigens al beoefend zijn in het basisonderwijs. Een Nederlandse tekst moet omgezet worden in rekenkundige omschrijvingen. Leerlingen moeten woorden vertalen in getallen met wiskundige bewerkingen als + en -. Ook moeten zij de uitkomst terugvertalen naar woorden om te snappen wat ze nu eigenlijk uitgerekend hebben. Dit blijkt vooral als de uitkomst gecheckt moet worden door een schatting die vooraf of achteraf is te maken.

Tekenen
Het derde onderdeel is het trekken van lijnen, tekenen dus. Grafieken zijn mooie hulpmiddelen, maar het is niet meer dan een tekening maken die past bij een verhaaltje. Dat verhaaltje kan ingekort zijn tot een functie, maar dat is weer een onderdeel van de Nederlandse taal. Wat extra komt kijken is de stilering van de tekeningen via assen en eenheden die op de assen staan. De juiste woorden bij de juiste as zetten, daar gaat het vaak om bij een correcte tekening.

Wel betekent dit dat het aantal vertaalvaardigheden verder toeneemt. Een tekst omzetten in een formule (of een functie) en daar een tekening van maken, zijn drie vertaalvaardigheden. Of eigenlijk twee keer drie vertaalvaardigheden. Want steeds kan een van de drie als uitgangspunt gelden om te vertalen naar een van de andere twee.

Verbanden leggen
De echte wiskunde begint bij de introductie van wiskundige instrumenten, zoals tabellen, functies, vergelijkingen en standaard grafische weergaven. Geef een functie, vraag er een beschrijving in Nederlandse woorden van, laat allerlei waarden uitrekenen, maak een tabel en teken het geheel in een grafiek. Geef domein en bereik van de functie aan en klaar is kees. Daarnaast kunnen twee- en driedimensionale constructies worden ingebracht, reeksen geformuleerd, goniometrische functies worden toegevoegd, etc.

Natuurlijk is de echte wiskunde een complexe materie die steeds dieper gaat in zijn complexiteit, maar het is vooral belangrijk om steeds na te gaan waar het kennisniveau van de leerlingen inmiddels ligt, voordat een uitbreiding gepland wordt. Ook hier zijn vertaalvaardigheden nodig. Om een functie om te zetten in een grafiek, is vaak een tabel mogelijk als hulpmiddel. Dat is handig maar het vereist wel de vertaling van functie in een tabel en van een tabel in een grafiek. Ook moeten ze allemaal zijn om te zetten in een tekst die duidelijk maakt waar het allemaal over gaat.

Geconcentreerd werken
Veel problemen die leerlingen hebben met de wiskunde, hebben niet te maken met de moeilijkheid van de wiskunde, maar met de concentratie in het afhandelen van de vraagstukken. Goed lezen betekent niet alleen waarnemen wat er staat, maar ook aanvullen met bedoelingen die niet in de tekst staan en zelfs met interpreteren wat de bedoeling is van een vraag. Ook het uitvoeren van een controle achteraf is cruciaal om te weten of alle gegevens goed zijn gebruikt en of de uitkomst wel te verwachten is als je vooraf een schatting maakt.

Doorgaans is er op eindexamens geen tijd om te controleren of de gemaakte opgaven correct zijn. Naar verluid zijn examenmakers bang dat leerlingen goede antwoorden gaan veranderen als ze teveel tijd over hebben na het maken van een examen.

Vertaalvaardigheden
Wat uit de voorafgaande beschrijving volgt, is dat voor veel leerlingen het niet alleen gaat om de onderdelen van de wiskunde, maar vooral ook om de vertaalvaardigheden die daarbij horen. Voor economie heb ik dat ooit aangegeven in een artikel: de zes talen van de wiskunde (zie: https://www.fons-vernooij.nl/documenten/AE-zes-talen-wiskunde.pdf). En als je uitgaat van zes talen, kom je bij 30 vertaalvaardigheden. Dat is niet mis.

Zo is de vertaling van een functie waarvan niet duidelijk is of de variabelen bestaat uit continue of discontinue variabelen al automatisch tot een grafiek met continue variabelen. De leerling berekent een paar punten en trekt daar doorheen een doorlopende lijn. Het domein (van de x-variabele) en het bereik (van de y-variabele) blijven daarbij mistig. Maar als de opdracht is om eerst een tabel te maken, dan is de aard van een tabel al dat die beperkt moet blijven tot vijf of zes regels. Dat leidt tot een lijst van discontinue variabelen.

Bij algemene economie is het theorema dat een ondernemer zijn productie uitbreidt tot het punt waar de laatste eenheid net zoveel opbrengt als die kost. Bij grote aantallen producten is dat een redelijke aanpak. Het punt waar de lijn van de marginale opbrengsten en de marginale kosten elkaar snijden is dan het vanzelfsprekende optimum. Maar als een leerling een tabel maakt en de vierde eenheid brengt net zoveel op als die kost, denkt een slimme leerling al snel: “Dan maakt die ondernemer die vierde eenheid toch niet meer”. Weg optimum. En toch moet de docent volhouden dat de vierde eenheid de optimale hoeveelheid is, want dan zijn de marginale opbrengsten gelijk aan de marginale kosten.

Simplificaties
Ook kunnen er problemen ontstaan bij het omdraaien van de volorde van de opdrachten. soms lijkt dat simpeler, maar het vereist andere vaardigheden: terugvertaal-vaardigheden. Ook bij andere vereenvoudigingen kunnen er problemen ontstaan. Het kan daarbij gaan om tradities waarin complexe zaken eenvoudiger voorgesteld worden dan ze zijn, om het niet te moeilijk te maken voor leerlingen.

Zo is het bij het vak economie gebruikelijk om in vraagstukken derdegraads functies te vervangen door tweedegraads functies. Dat heeft het voordeel dat de afgeleide functies (na het differentiëren) uit eerstegraads functies bestaan en dus rechte lijnen zijn. Dat lijkt het makkelijker te maken voor leerlingen. Rechte lijnen tekenen en laten snijden is geen probleem.

Maar als leerlingen een grafisch geheugen hebben en weten dat het om derdegraads krommen gaat (bijvoorbeeld bij de toe- en afnemende meeropbrengsten) waar weer tweedegraads krommen uit voortvloeien (dus de gemiddelde en marginale kostenfuncties), dan botsen de grafische en rekenkundige vormen met elkaar.

Dan zijn de wiskundige vergelijkingen uit de opgaven strijdig met de algemene wetmatigheden die uit de theorie voortvloeien. Vereenvoudigingen zijn dan simplificaties die nieuwe vaardigheden vragen om alles aan elkaar te rijmen. Zie: Vakdidactiek algmene econonmie voor een reeks voorbeelden.

Het (niet) gebruiken van eenheden.
Wat in de wiskunde opzettelijk ontbreekt zijn de eenheden die horen bij de grootheden waar de leerlingen mee rekenen. Eenheden zoals kilometer per uur of euro’s per maand worden niet systematisch meegenomen in de opgaven. Dat laten wiskundigen over aan natuurkundigen en economen. Alhoewel, economen zijn niet erg consistent in het gebruik van aanheden. Zie: bedrijfseconomische-begrippen.nl.

Soms komen de eenheden terug in de eerste hoofdstukken van een wiskundeboek, maar dan gaat het meer om rekenen met natuurkundig perspectief, zoals de oppervlakte van een voetbalveld in vierkante meters. Maar bij pi-r-kwadraat kom je de eenheden al niet meer tegen evenmin als bij a-kwadraat plus b-kwadraat = c-kwadraat. Dan zijn er allerlei eenheden mogelijk, dus trekt de wiskunde de formule naar aan abstracter niveau. De problemen met het gebruik van eenheden voor leerlingen komen later in een aparte blog aan de orde.

Alle blogs over de zeven invalshoeken van vakdidactiek
In totaal zijn de volgende blogs verschenen, waarin de zeven invalshoeken voor vakdidactiek successievelijk terugkomen. Bij een aantal blogs zijn een of meer voorbeelden toegevoegd. Daarnaast is er een blog met achtergrond informatie over de zeven invalshoeken waarin onderdelen nader uitgewerkt of toegelicht staan om veelvuldige herhaling te voorkomen.

De zeven invalshoeken voor vakdidactiek (achtergrondinformatie):

1. Becommentariëren en verbeteren van bestaande lesprogramma;
2. Beschrijven van de mentale voorstelling die docenten hebben
   van hun vak;
   - Voorbeeld 2.a De namen van leerlingen leren;
    
3. Expliciteren van het instructieproces tijdens het onderwijs;
   - Voorbeeld 3.a De vele talen van de wiskunde;
   - Voorbeeld 3.b Goed lezen bestaat uit drie onderdelen;
   - Voorbeeld 3.c Het verborgen pad;
   - Voorbeeld 3.d Het gebruik van eenheden;
   - Voorbeeld 3.e Verpleegkundig rekenen bijvoorbeeld;
    
4. Stimuleren van de motivering van leerlingen door de vorm
   van het lesaanbod;
5. Bevorderen van de zelfsturing van leerlingen door eigen
   organisatie van het onderwijs;
6. Analyseren van de problemen die leerlingen hebben met de stof;
   - Voorbeeld 6.a Rekenen met procenten;
    
7. Onderzoeken welke mentale modellen leerlingen ontwikkelen
   en toepassen;
   - Voorbeeld 7.a Onderzoek via hardop-denk-sessies;
   - Voorbeeld 7.b Op zoek naar gokstrategieën.
   - Voorbeeld 7.c Wanneer ken je een hoofdstuk?

(*) Conceptuele modellen en mentale modellen
Norman, Gentner & Stevens hebben in een publicatie uit 1976 het mentale model geplaatst tegenover het conceptuele model. Zij gingen in op de constatering dat sommige mensen hun rekenmachine steeds uit- en weer aanzetten. Aan de hand van zo’n rekenmachine plaatsten zij de begrippen in een vierluik:
1) er is een apparaat dat functies heeft,
2) er is een goede beschrijving van de werking van dat apparaat (een conceptueel model)
3) een gebruiker maakt zich een mentale voorstelling van de wijze waarop het apparaat functioneren kan (een mentaal model);
4) er is een onderzoeker die probeert om zich een voorstelling te maken van het mentale model dat een gebruiker ontwikkeld heeft.

Bronnen
- Norman, D.A., Gentner, D.R. & Stevens, A.L. (1976), Comments on
  learning schemata and memory representation. In D. Klahr (ed.),
  Cognition and Instruction, Hillsdale N.J. Lawrence Erlbaum Ass.
- Van Dongen, H. en Van der Meche, E., Mentale Modellen, Factor D, 2022,
  nummer 1, blz 13.
- Vernooij, F., Een mentaal model van vakdidactiek. Factor D, 2022,
  nummer 2, blz.17.
- Vernooij, F., Simplificaties zijn complicaties, een reeks van artikelen.
  Zie: Vakdidactiek algmene economie
- Vernooij, F., Bedrijfseconomische begrippen en hun eenheden.
  Zie: bedrijfseconomische-begrippen.nl.

Persoonsgegevens
Fons Vernooij was Vakdidacticus bedrijfseconomie en algemene economie bij het ILO in Amsterdam en is nu met pensioen. Hij beheert de website vakdidactiek.nl als onderdeel van zijn website onderwijsportaal.nl. Vanwege zijn achtergrond zijn veel voorbeelden ontleend aan de economische vakken.

Als vakdidacticus voerde hij in 1993 een promotieonderzoek uit. Zie: Vernooij, F., (1993), Het leren oplossen van bedrijfseconomische problemen. Proefschrift, te vinden op vakdidactiek-bedrijfseconomie.nl.

Deze blogs zijn een uitvloeisel van zijn artikel “Een mentaal model van vakdidactiek”, dat is verschenen in het blad Factor D (didactiek), veertigste jaargang, nummer 2 uit 2022. Dit artikel is te downloaden via www.fons-vernooij.nl/documenten/een-mentaal-model-van-vakdidactiek.pdf.