Analyseren van de problemen
die leerlingen hebben met de stof

Achtergrondinformatie zie: "Zeven Invalshoeken voor Vakdidactiek"

Samenvatting
Als een leerling in de klas een fout antwoord geeft, probeert een docent vaak nog wel te achterhalen waar de fout vandaan komt. Maar bij proefwerken of examens is de correctie van het totale werk vaak zo omvangrijk, dat het er niet van komt om systematisch uit te zoeken welke soorten van fouten leerlingen maken.

Of meer precies gezegd, dan komt het er niet van om uit te zoeken welke mentale modellen (*) de leerlingen ontwikkeld hebben om grip te krijgen op de conceptuele modellen (*) die in de lesstof aan de orde komen.

Ook bij de examenbesprekingen in de vakbladen gaat het vaak om een analyse van knelpunten in de examenopgaven die aanleiding zijn voor aanbevelingen aan examenmakers. Lenie Kneppers wijkt van die aanpak af en probeert tot een classificatie te komen van goede en foute redeneringen van leerlingen bij het oplossen van vraagstukken.

6e invalshoek voor de vakdidactiek:
Analyseren van de problemen die leerlingen hebben met de stof

Grip krijgen op de mentale modellen van leerlingen
In de vorige blogs kwam naar voren dat het belangrijk is om bij leerlingen interne motivatie te stimuleren om het onderwijs te volgen. Het is belangrijk hen te interesseren voor het onderwijs door werkvormen te gebruiken die hen aanspreken (zie blog 4) en door hen zelf sturing te laten geven aan de invulling van het lesprogramma (zie blog 5). Maar dit zijn nog allemaal redeneringen die opgezet zijn vanuit de docent. Het gaat hier nog steeds om de invulling van het lesprogramma zoals de docent die kan beïnvloeden.

Het idee dat het eigenlijk gaat om het achterhalen van de mentale modellen (*) van leerlingen is nog niet aan bod gekomen. Cruciaal is de vraag welke voorstelling de leerlingen zich maken van de lesstof, dus van de conceptuele modellen (*) die zij krijgen aangeboden.

En niet alleen de mentale modellen die uiteindelijk zijn blijven hangen na bestudering van een hoofdstuk, maar ook de mentale modellen die zij hadden bij de instap in de toets. Om te weten hoe de mentale voorstelling van de lesstof zich ontwikkeld tijdens de lesperiode, is het van belang om te weten wat de voorstelling van zaken van leerlingen is bij de start van een nieuw onderwerp.

Wat hebben de leerlingen op voorhand aan denkbeelden op het moment dat de docent een nieuw hoofdstuk uit het boek aanpakt? Zijn zij volledig blanco over de lesstof en de termen die daarin gebruikt worden? Hebben zij al ideeën daarover van huis uit? Hebben zij bij andere vakken die termen al gehad en daar iets aan beeldvorming aan over gehouden? Of hebben zij wellicht in eerdere hoofdstukken uit hetzelfde boek een term geleerd en zitten zij daar al mee in hun hoofd?

Kostprijs als voorbeeld
In mijn eigen promotie-onderzoek heb ik de betekenis van de term ‘kostprijs’ onderzocht. In het leerboek werd eerst gezegd dat de kostprijs van een handelaar in zijn boekhouding gelijk was aan de inkoopprijs. In een volgend hoofdstuk ging het om de calculatie van de voorgenomen verkoopprijs. Dan is de kostprijs gelijk aan de som van de inkoopprijs en een opslag voor inkoopkosten en een opslag voor algemene kosten. Hoe gaan leerlingen daarmee om?

Sommige leerlingen bleven vasthouden aan kostprijs = inkoopprijs, want “Dat heb ik op het vorige proefwerk gedaan en toen had ik een goed cijfer, dus blijf ik daarbij”. Anderen zeiden “Eerst dacht ik dat de kostprijs gelijk was aan de inkoopprijs, maar nu weet ik dat de kostprijs veel meer is dan dat”. Heel weinig leerlingen zeiden: “Nou bij de boekhouding is de kostprijs gelijk aan de inkoopprijs, maar als de ondernemer een verkoopprijs gaat vaststellen, dan breidt hij de inkoopprijs uit met enkele opslagen.”

Veel leerlingen gingen echter twijfelen en zochten een compromis. Zij zeiden “De kostprijs is meer dan de inkoopprijs, maar je kunt er niet altijd alle kosten bij optellen.” Zij bleven zoeken naar een tussenvorm die zowel bij de boekhouding als de calculatie van de verkoopprijs bruikbaar was. Zij accepteerden niet dat de term kostprijs gewoon in twee verschillende betekenissen werd gebruikt bij verschillende onderdelen van de bedrijfseconomie. Daardoor kwamen zij uit op de stelling: “De kostprijs is de som van de inkoopprijs en een opslag voor inkoopkosten”.

Twee soorten van onderzoek
Om de beeldvorming rond de vaktermen en de procedures van een vakgebied bij leerlingen te achterhalen zijn er twee soorten van onderzoek mogelijk. De eerste is om aan de hand van bijvoorbeeld examenopgaven na te gaan wat voor soorten van fouten leerlingen maken. Welke fouten zie je als docent in de uitwerkingen op papier staan? Kun je die fouten categoriseren en daar systematisch instructies uit afleiden voor volgende generaties van leerlingen? Kun je je een voorstelling maken van de mentale modellen die leerlingen gebruikt hebben tijdens het examen?

De tweede vorm van onderzoek is om leerlingen hardop denkend vraagstukken te laten maken. Zonder zelf in te grijpen kun je de gedachtenprocessen van de leerlingen op de band opnemen en die later analyseren. Hoe zoekt een leerling het antwoord op een vraag? Waar begint het zoekproces? Zit er een systematiek in het denken van de leerling? Welke checks en controles gebruikt een leerling bij het beslissen of de aanpak goed is? Bijvoorbeeld als een opstapvraagje heel simpel is: “Dit is zo makkelijk, dit kan niet het goede antwoord zijn.” Of als ze op de goede weg zijn: “Wat ik nu doe is te ingewikkeld. Dat zullen ze wel niet vragen.”

Het onderzoek via hardop-denk sessies is echt een direct onderzoek naar de mentale modellen die de leerlingen ontwikkeld hebben en die ze gebruiken. In de volgend blog bij de zevende invalshoek komt dit uitvoerig aan bod. In deze blog richt ik mij op de fouten-analyse. Dat is al een grote stap in de goede richting om te zoeken naar hetgeen de leerlingen werkelijk denken in plaats van wat ze zouden moeten denken. Hier gaat het om misconcepties (dus andere betekenis van de termen dan de maker van de opgaven in gedachten had) en redeneerfouten, incomplete redeneringen en slordigheden.

Analyse van de fouten (1)
Twee mooie voorbeelden van onderzoek naar misconcepties die leerlingen hebben bij het oplossen van vraagstukken zijn te vinden in het artikel van Kneppers: “Examenvragen havo economie, 1e tijdvak 2021 geanalyseerd”. Dit onderzoek vindt plaats aan de hand van fouten die leerlingen gemaakt hebben tijdens de examens. In feite is het ingeleverde uitwerkingsmateriaal van de leerlingen dus de bron met data.

Bij het eerste probleem dat Kneppers bespreekt gaat het om het rekenen met percentages. In essentie was de vraag: ‘Bereken hoeveel procent Europese auto’s in India goedkoper worden als India de invoerrechten van 120% afschaft.’ In principe is dat te berekenen met de formule
(nieuw - oud) / oud x 100%. Dat is dus het conceptuele model uit de lesstof.

De kracht van dit artikel ligt in de inventarisatie van de antwoorden van de leerlingen en de poging om te achterhalen welke gedachtengang achter elk type berekening schuil gaat. In feite is het dus een poging om de mentale modellen te achterhalen die de leerlingen gebruiken als oplossingsstrategie.

Kneppers inventariseert negen typen van antwoorden waar diverse redeneringen uit te halen zijn. Deze geven een beeld van de mentale modellen die leerlingen mogelijk hanteren bij het oplossen. Informatief voor docenten die grip willen krijgen op de denkwijze van de leerlingen. Voor de uitwerking van deze analyse: zie blog 6.1 Rekenen met procenten.

Advies aan examenmakers
Een van de conclusies die Lenie trekt is: “Het kan helpen als leerlingen leren om bij een toets uit te schrijven hoe ze tot een antwoord komen.”. Misschien zou het zelfs beter zijn om de formulering van vraagstukken centraal te stellen. Dat kan door voor te stellen om niet meer naar de uitkomst van een vraagstuk te vragen, maar door gewoon te zeggen; ‘Geef de berekening die nodig is om na te gaan hoeveel procent de Europese auto’s in India goedkoper worden als India de invoerrechten van 120% afschaft.’

Deze conclusie is gericht op de examenmakers en niet op de instructies voor volgende generaties leerlingen. Natuurlijk kan een docent in de klas wijzen op het belang om een berekening toe te voegen. Doorgaans krijgt een leerling een groot deel van de beschikbare punten als de berekening correct is, maar de uitkost fout.

Maar waarom staat er niet gewoon: “Geef een berekening van de uitkomst” als de berekening belangrijker is dan de uitkomst? Het oer-idee achter de standaardvraag “ Hoe groot is .. “ of “Bereken de grootte van ..” is dat als de uitkomst goed is, de berekening er achter ook wel goed moet zijn. Gemakzucht van de auteurs en de examenmakers dus.

Analyse van de fouten (2)
Bij het tweede vraagstuk komt die kritiek op de vraagstelling nog explicieter naar voren. Daar gaat het om een vraag- en aanbodsituatie waarin de overheid een minimumprijs instelt en vervolgens een aanbodoverschot opkoopt. Twee beslissingen die effect hebben op het producentensurplus (dus het bedrag dat ondernemers per product meer krijgen dan bij de evenwichtsprijs op de markt het geval zou zijn).

De kritiek op de gestelde vraag aan de leerlingen is dat niet aangegeven staat of de toename van het producentensurplus op beide beslissingen betrekking heeft of op een van beide. Vervolgens is de terechte kritiek van Leni: “Er werd overigens alleen gevraagd de letters van de vakjes te noteren. Dat vind ik een gemiste kans. Als een toelichting moet worden gegeven, moet een leerling nadenken over hoe hij zijn gedachten op papier zet. Dat kan helpen.” Dat kan ook de docent helpen om zich in te leven in de beleving van de leerling en in zijn of haar mentale voorstelling van het voorgelegde vraagstuk.

Kneppers is overigens een specialist in vakdidactiek. Zij heeft recent een boek laten verschijnen onder de titel “Innovatief en betekensvol economie onderwijs”. Daarin staat het contextgericht leren centraal, dus het leren dat begint bij het schetsen van een context en van daaruit toewerkt naar kennis van concepten. De basis is actieve kennisconstructie door leerlingen. De lerende moet zelf actief kennis construeren. Daarvoor zijn vaardigheden nodig en het is aan de docenten om die vaardigheden te onderwijzen.

Hardop-denk-sessies als bron van info
Al met al is een foutenanalyse wel zinvol, maar daar uit kunnen twee soorten conclusies getrokken worden: Wat doen de leerlingen fout? en Wat is er fout aan de opdracht? Bij een examenbespreking is de neiging groot om vooral het laatste naar voren te halen, omdat een examenbespreking uiteindelijk toch gericht is op de examenmakers. De hoop is dat die er iets van opsteken om in de toekomst betere examens te maken.

Dat is op zich prima, maar het leidt af van de vraag elke mentale modellen de leerlingen eigenlijk hanteerden tijdens de uitvoering van hun werk. In een volgende blog komt de analyse van het denkproces van leerlingen centraal te staan. Hardop-denk-sessies zijn daar voor een goede ingang.

Alle blogs over de zeven invalshoeken van vakdidactiek
In totaal zijn de volgende blogs verschenen, waarin de zeven invalshoeken voor vakdidactiek successievelijk terugkomen. Bij een aantal blogs zijn een of meer voorbeelden toegevoegd. Daarnaast is er een blog met achtergrond informatie over de zeven invalshoeken waarin onderdelen nader uitgewerkt of toegelicht staan om veelvuldige herhaling te voorkomen.

De zeven invalshoeken voor vakdidactiek (achtergrondinformatie):

1. Becommentariëren en verbeteren van bestaande lesprogramma;
2. Beschrijven van de mentale voorstelling die docenten hebben
   van hun vak;
   - Voorbeeld 2.a De namen van leerlingen leren;
    
3. Expliciteren van het instructieproces tijdens het onderwijs;
   - Voorbeeld 3.a De vele talen van de wiskunde;
   - Voorbeeld 3.b Goed lezen bestaat uit drie onderdelen;
   - Voorbeeld 3.c Het verborgen pad;
   - Voorbeeld 3.d Het gebruik van eenheden;
   - Voorbeeld 3.e Verpleegkundig rekenen bijvoorbeeld;
    
4. Stimuleren van de motivering van leerlingen door de vorm
   van het lesaanbod;
5. Bevorderen van de zelfsturing van leerlingen door eigen
   organisatie van het onderwijs;
6. Analyseren van de problemen die leerlingen hebben met de stof;
   - Voorbeeld 6.a Rekenen met procenten;
    
7. Onderzoeken welke mentale modellen leerlingen ontwikkelen
   en toepassen;
   - Voorbeeld 7.a Onderzoek via hardop-denk-sessies;
   - Voorbeeld 7.b Op zoek naar gokstrategieën.
   - Voorbeeld 7.c Wanneer ken je een hoofdstuk?

(*) Conceptuele modellen en mentale modellen
Norman, Gentner & Stevens hebben in een publicatie uit 1976 het mentale model geplaatst tegenover het conceptuele model. Zij gingen in op de constatering dat sommige mensen hun rekenmachine steeds uit- en weer aanzetten. Aan de hand van zo’n rekenmachine plaatsten zij de begrippen in een vierluik:
1) er is een apparaat dat functies heeft,
2) er is een goede beschrijving van de werking van dat apparaat (een conceptueel model)
3) een gebruiker maakt zich een mentale voorstelling van de wijze waarop het apparaat functioneren kan (een mentaal model);
4) er is een onderzoeker die probeert om zich een voorstelling te maken van het mentale model dat een gebruiker ontwikkeld heeft.

Bronnen
- Kneppers, L., Innovatief en betekensvol economie onderwijs,
  Expertise Centrum voor de Mens- en Maatschappijvakken, 2023.
- Kneppers, L., Examenvragen havo economie 1e tijdvak 2021
  geanalyseerd, Factor D, 2022, nummer 1, blz 19.
- Norman, D.A., Gentner, D.R. & Stevens, A.L. (1976), Comments on
  learning schemata and memory representation. In D. Klahr (ed.),
  Cognition and Instruction, Hillsdale N.J. Lawrence Erlbaum Ass.
- Van Dongen, H. en Van der Meche, E., Mentale Modellen, Factor D, 2022,
  nummer 1, blz 13.
- Vernooij, F., Een mentaal model van vakdidactiek. Factor D, 2022,
  nummer 2, blz.17.
- Vernooij, F., Bedrijfseconomische begrippen en hun eenheden.
  Zie: bedrijfseconomische-begrippen.nl.

Persoonsgegevens
Fons Vernooij was Vakdidacticus bedrijfseconomie en algemene economie bij het ILO in Amsterdam en is nu met pensioen. Hij beheert de website vakdidactiek.nl als onderdeel van zijn website onderwijsportaal.nl. Vanwege zijn achtergrond zijn veel voorbeelden ontleend aan de economische vakken.

Als vakdidacticus voerde hij in 1993 een promotieonderzoek uit. Zie: Vernooij, F., (1993), Het leren oplossen van bedrijfseconomische problemen. Proefschrift, te vinden op vakdidactiek-bedrijfseconomie.nl.

Deze blogs zijn een uitvloeisel van zijn artikel “Een mentaal model van vakdidactiek”, dat is verschenen in het blad Factor D (didactiek), veertigste jaargang, nummer 2 uit 2022. Dit artikel is te downloaden via www.fons-vernooij.nl/documenten/een-mentaal-model-van-vakdidactiek.pdf.